Рассчитать токи и напряжения всех элементов цепи. Территория электротехнической информации WEBSOR

Суть расчетов заключается, как правило, в том, чтобы по известным значениям всех сопротивлений цепи и параметров источников (ЭДС или тока) определить токи во всех ветвях и напряжения на всех элементах (сопротивлениях) цепи.

Для расчета электрических цепей постоянного тока могут применяться различные методы. Среди них основными являются:

– метод, основанный на составлении уравнений Кирхгофа;

– метод эквивалентных преобразований;

– метод контурных токов;

– метод наложения;

– метод узловых потенциалов;

– метод эквивалентного источника;

Метод, основанный на составлении уравнений Кирхгофа, является универсальным и может применяться как для одноконтурных, так и для многоконтурных цепей. При этом количество уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, должно быть равно количеству внутренних контуров схемы.

Количество уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше количества узлов в схеме.

Например, для данной схемы

составляется 2 уравнения по 1-му закону Кирхгофа и 3 уравнения по 2-му закону Кирхгофа.

Рассмотрим остальные методы расчета электрических цепей:

Метод эквивалентных преобразований применяется для упрощения схем и расчетов электрических цепей. Под эквивалентным преобразованием понимается такая замена одной схемы другой, при которой электрические величины схемы в целом не меняются (напряжение, ток, потребляемая мощность остаются неизменными).

Рассмотрим некоторые виды эквивалентных преобразований схем.

а). последовательное соединение элементов

Общее сопротивление последовательно соединенных элементов равно сумме сопротивлений этих элементов.

R Э =Σ R j (3.12)

R Э =R 1 +R 2 +R 3

б). параллельное соединение элементов.

Рассмотрим два параллельно соединенных элемента R1 и R 2 . Напряжение на этих элементах равны, т.к. они подключены к одним и тем же узлам а и б.

U R1 = U R2 = U АБ

Применяя закон Ома получим

U R1 =I 1 R 1 ; U R2 =I 2 R 2

I 1 R 1 =I 2 R 2 или I 1 / I 2 =R 2 / R 1

Применим 1-й закон Кирхгофа к узлу (а)

I – I 1 – I 2 =0 или I=I 1 +I 2

Выразим токи I 1 и I 2 через напряжения получим

I 1 = U R1 / R 1 ; I 2 = U R2 / R 2

I= U АБ / R 1 + U АБ / R 2 = U АБ (1 / R 1 +1/R 2)

В соответствии с законом Ома имеем I=U АБ / R Э; где R Э – эквивалентное сопротивление

Учитывая это, можно записать

U АБ / R Э = U АБ (1 / R 1 +1 / R 2),

1/R Э =(1 / R 1 +1/R 2)

Введем обозначения: 1/R Э =G Э – эквивалентная проводимость

1/R 1 =G 1 – проводимость 1-го элемента

1/R 2 =G 2 – проводимость 2-го элемента.

Запишем уравнение (6) в виде

G Э =G 1 +G 2 (3.13)

Из этого выражения следует, что эквивалентная проводимость параллельно соединенных элементов равна сумме проводимостей этих элементов.

На основе (3.13) получим эквивалентное сопротивление

R Э =R 1 R 2 / (R 1 +R 2) (3.14)

в). Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратное преобразование.

Соединение трех элементов цепи R 1 , R 2 , R 3 , имеющее вид трех лучевой звезды с общей точкой (узлом), называется соединением “звезда”, а соединение этих же элементов, при котором они образуют стороны замкнутого треугольника – соединением “треугольник”.

Рис.3.14. Рис.3.15.

соединение – звезда () соединение – треугольник ()

Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду проводится по следующим правилу и соотношениям:

Сопротивление луча эквивалентной звезды равно произведению сопротивлений двух примыкающих сторон треугольника, деленному на сумму всех трех сопротивлений треугольника.

Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник производится по следующим правилу и соотношениям:

Сопротивление стороны эквивалентного треугольника равно сумме сопротивлений двух примыкающих лучей звезды плюс произведение этих двух сопротивлений, деленное на сопротивление третьего луча:

г). Преобразование источника тока в эквивалентный источник ЭДС Если в схеме имеется один или несколько источников тока, то часто для удобства расчетов следует заменить источники тока на источники ЭДС

Пусть источник тока имеет параметры I К и G ВН.

Рис.3.16. Рис.3.17.

Тогда параметры эквивалентного источника ЭДС можно определить из соотношений

E Э =I К / G ВН; R ВН.Э =1 / G ВН (3.17)

При замене источника ЭДС эквивалентным источником тока необходимо использовать следующие соотношения

I К Э =E / R ВН; G ВН, Э =1 / R ВН (3.18)

Метод контурных токов.

Этот метод применяется, как правило, при расчетах многоконтурных схем, когда число уравнений, составленных по 1-му и 2-му законам Кирхгофа, равно шести и более.

Для расчета по методу контурных токов в схеме сложной цепи определяются и нумеруются внутренние контуры. В каждом из контуров произвольно выбирается направление контурного тока, т.е. тока, замыкающегося только в данном контуре.

Затем для каждого контура составляется уравнение по 2-му закону Кирхгофа. При этом, если какое-либо сопротивление принадлежит одновременно двум смежным контурам, то напряжение на нем определяется как алгебраическая сумма напряжений, создаваемых каждым из двух контурных токов.

Если количество контуров n , то и уравнений будет n. Решая данные уравнения (методом подстановки или определителей), находят контурные токи. Затем, используя уравнения, записанные по 1-му закону Кирхгофа, находят токи в каждой из ветвей схемы.

Запишем контурные уравнения для данной схемы.

Для 1-го контура:

I 1 R 1 +(I 1 +I 2)R 5 +(I I +I III)R 4 =E 1 -E 4

Для 2-го контура

(I I +I II)R 5 + I II R 2 +(I II -I III)R 6 =E 2

Для 3-го контура

(I I +I III)R 4 +(I III -I II)R 6 +I III R 3 =E 3 -E 4

Производя преобразования запишем систему уравнений в виде

(R 1 +R 5 +R 4)I I +R 5 I II +R 4 I III =E 1 -E 4

R 5 I I +(R 2 +R 5 +R 6) I II -R 6 I III =E 2

R 4 I I -R 6 I II +(R 3 +R 4 +R 6) I III =E 3 -E 4

Решая данную систему уравнений, определяем неизвестные I 1 , I 2 , I 3 . Токи в ветвях определяются, используя уравнения

I 1 = I I ; I 2 = I II ; I 3 = I III ; I 4 = I I + I III ; I 5 = I I + I II ; I 6 = I II – I III

Метод наложений.

Этот метод основан на принципе наложения и применяется для схем с несколькими источниками электроэнергии. Согласно этому методу при расчете схемы, содержащей несколько источников э.д.с. , поочередно полагаются равными нулю все ЭДС, кроме одной. Производится расчет токов в схеме, создаваемой одной этой ЭДС. Расчет производится отдельно для каждой ЭДС, содержащейся в схеме. Действительные значения токов в отдельных ветвях схемы определяются как алгебраическая сумма токов, создаваемых независимым действием отдельных ЭДС.

Рис.3.20. Рис.3.21.

На рис. 3.19 исходная схема, а на рис.3.20 и рис.3.21 схемы замещается с одним источником в каждой.

Производится расчет токов I 1 ’ , I 2 ’ , I 3 ’ и I 1 ” , I 2 ” , I 3 ” .

Определяются токи в ветвях исходной схемы по формулам;

I 1 =I 1 ’ -I 1 ” ; I 2 = I 2 ” -I 2 ’ ; I 3 =I 3 ’ +I 3 ”

Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений до У – 1, где У – число узлов схемы замещения цепи. Метод основан на применении первого закона Кирхгофа и заключается в следующем:

1. Один узел схемы цепи принимаем базисным с нулевым потенциалом. Такое допущение не изменяет значения токов в ветвях, так как – ток в каждой ветви зависит только от разностей потенциалов узлов, а не от действительных значений потенциалов;

2. Для остальных У - 1 узлов составляем уравнения по первому закону Кирхгофа, выражая токи ветвей через потенциалы узлов.

При этом в левой части уравнений коэффициент при потенциале рассматриваемого узла положителен и равен сумме проводимостей сходящихся к нему ветвей.

Коэффициенты при потенциалах узлов, соединенных ветвями с рассмат- риваемым узлом, отрицательны и равны проводимостям соответствующих ветвей. Правая часть уравнений содержит алгебраическую сумму токов ветвей с источниками токов и токов короткого замыкания ветвей с источниками ЭДС, сходящихся к рассматриваемому узлу, причем слагаемые берутся со знаком плюс (минус), если ток источника тока и ЭДС направлены к рассматриваемому узлу (от узла).

3. Решением составленной системы уравнений определяем потенциалы У-1 узлов относительно базисного, а затем токи ветвей по обобщен- ному закону Ома.

Рассмотрим применение метода на примере расчета цепи по рис. 3.22.

Для решения методом узловых потенциалов принимаем
.

Система узловых уравнений: число уравнений N = N y – N B -1,

где: N y = 4 – число узлов,

N B = 1 – число вырожденных ветвей (ветви с 1-м источником ЭДС),

т.е. для данной цепи: N = 4-1-1=2.

Составляем уравнения по первому закону Кирхгоф для (2) и (3) узлов;

I2 – I4 – I5 – J5=0; I4 + I6 –J3 =0;

Представим токи ветвей по закону Ома через потенциалы узлов:

I2 = (φ2 − φ1) / R2 ; I4 = (φ2 +E4 − φ3) / R4

I5 = (φ2 − φ4) / R5 ; I6 = (φ3 – E6 − φ4) / R6;

где,

Подставив эти выражения в уравнения токов узлов, получим систему;

где
,

Решая систему уравнений численным методом подстановки или определи- телей находим значения потенциалов узлов, а по ним значения напряжений и токов в ветвях.

Метод Эквивалентного источника (активного двухполюсника)

Двухполюсником называется цепь, которая соединяется с внешней частью через два вывода – полюса. Различают активные и пассивные двухполюсники.

Активный двухполюсник содержит источники электрической энергии, а пас- сивный их не содержит. Условные обозначения двухполюсников прямоугольни- ком с буквой А для активного и П для пассивного (рис. 3.23.)

Для расчета цепей с двухполюсниками последние представляют схемами заме -щения. Схема замещения линейного двухполюсника определяется его вольт-амперной или внешней характеристикой V (I). Вольт-амперная характеристика пассивного двухполюсника – пря мая. Поэтому его схема замещения представ- ляется резистивным элементом с сопротивлением:

rвх = U/I (3.19)

где: U – напряжение между выводами, I-ток и rвх – входное сопротивление.

Вольт-амперную характеристику активного двухполюсника (рис. 3.23, б) можно построить по двум точкам, соответствующим режимам холостого хода, т. е. при г н = °°, U = U х, I = 0, и короткого замыкания, т. е. при г н =0, U = 0, I =Iк. Эта характеристика и ее уравнение имеет вид:

U = U х – г эк I = 0 (3.20)

г эк = U х / Iк (3.21)

где: г эк – эквивалентное или выходное сопротивление двухполюсника, совпа-

дают с одноименными характеристикой и уравнением источника электроэнер- гии, представляемого схемами замещения на рис. 3.23.

Итак, активный двухполюсник представляется эквивалентным источником с ЭДС – Е эк = U х и внутренним сопротивлением – г эк = г вых (рис. 3.23, а) Пример активного двухполюсника.- гальванический элемент. При изменении тока в пределах 0

Если приемник с сопротивлением нагрузки г н подключен к активному двух- полюснику, то его ток определяется по методу эквивалентного источника:

I = Е эк / (г н + г эк) = U х / (г н + г вых) (3.21)

В качестве примера рассмотрим расчет тока I в цепи на рис 3.24, а методом эквивалентного источника. Для расчета напряжения холостого хода U х между выводами а и Ъ активного двухполюсника разомкнем ветвь с резистивным элементом г н (рис. 3.24, б).

Применяя метод наложения и учитывая симметрию схемы, находим:

U х =J г / 2 + Е / 2

Заменив источники электрической энергии (в этом примере источники ЭДС и тока) активного двухполюсника резистивными элементами с сопротивлениями, равными внутренним сопротивлениям соответствующих источников (в этом примере нулевым для источника ЭДС и бесконечно большим для источника тока сопротивлениями), получим выходное сопротивление (сопротивление измеренное на выводах а и б) г вых = г/2 (рис.3.24, в). По (3.21) искомый ток:

I = (J г / 2 + Е / 2) / (г н + r / 2) .

Определение условий передачи приемнику максимальной энергии

В устройствах связи, в электронике, автоматике и т. д. часто желательно передать от источника к приемнику (исполнительному механизму) наибольшую энергию, причем КПД передачи имеет второстепенное значение в силу малости энергии. Рассмотрим общий случай питания приемника от активного двухполюсника, на рис. 3.25 последний представлен эквива- лентным источником с ЭДС Е эк и внутренним сопротивлением г эк.

Определим мощности Рн,РЕ и КПД передачи энергии:

Рн = U н I = (Е эк – г эк I) I ; РЕ = Е эк I = (г н – г эк I) I 2

η= Рн / РЕ 100% = (1 – г эк I / Е эк) 100%

При двух предельных значениях сопротивления г н = 0 и г н = °° мощность приемника равна нулю, так как в первом случае равно нулю напряжение между выводами приемника, а во втором случае – ток в цепи. Следовательно, некоторому определенному значению г н соответствует наибольшее возможное (при данных е эк и г эк) значение мощности приемника. Чтобы определить это значение сопротивления, приравняем нулю первую производную от мощности р н по г н и получим:

(г эк – г н) 2 – 2 г н г эк -2 г н 2 = 0

откуда следует, что при условии

г н = г эк (3.21)

мощность приемника будет максимальна:

Рн max = г н (Е 2 эк / 2 г н) 2 = Е 2 эк / 4 г н I (3.22)

Равенство (1.38) называется условием максимальной мощности приемника, т.е. передачи максимальной энергии.

На рис. 3.26 приведены зависимости Рн,РЕ, U н и η от тока I.

ТЕМА 4: ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО

Переменным называется периодически изменяющийся по направлению и амплитуде электрический ток. При этом, если переменный ток изменяется по синусоидальному закону – он называется синусоидальным, а если нет – несинусоидальым. Электрическая цепь с таким током называется цепью переменного (синусоидального или несинусоидального) тока.

Электротехнические устройства переменного тока находят широкое приме- нение в различных областях народного хозяйства, при генерировании, передаче и трансформировании электрической энергии, в электроприводе, бытовой тех- нике, промышленной электронике, радиотехнике и т. д.

Преимущественное распространение электротехнических устройств пере- менного синусоидального тока обусловлено рядом причин.

Современная энергетика основана на передаче энергии на дальние расстояния при помощи электрического тока. Обязательным условием такой передачи является возможность простого и с малыми потерями энергии преобразова- ния тока. Такое преобразование осуществимо лишь в электротехнических устройствах переменного тока - трансформаторах. Вследствие громадных преимуществ трансформирования в современной электроэнергетике приме- няется прежде всего синусоидальный ток.

Большим стимулом для разработки и развития электротехнических уст- ройств синусоидального тока является возможность получения источников электрической энергии большой мощности. У современных турбогенераторов тепловых электростанций мощность равна100-1500 МВт на один агрегат, большие мощности имеют и генераторы гидростанций.

К наиболее простым и дешевым электрическим двигателям относятся асин- хронные двигатели переменного синусоидального тока, в которых отсутствуют движущиеся электрические контакты. Для электроэнергетических установок (в частности, для всех электрических станций) в России и в большинстве стран мира принята стандартная частота 50 Гц (в США – 60 Гц). Причина такого выбора простые: понижение частоты неприемлемо, так как уже при частоте тока 40 Гц лампы накаливания заметно для глаза мигают; повышение часто- ты нежелательно, так как пропорционально частоте растет ЭДС само индукции, отрицательно влияющая на передачу энергии по проводам” и работу многих электротехнических устройств. Эти соображения, однако, не ограничивают при- менение переменного тока других частот для решения различных технических и научных задач. Например, частота переменного синусоидального тока элек- три ческих печей для выплавки тугоплавких металлов составляет до 500Гц.

В радиоэлектроннике применяются высокочастотные (мегогерцовые) устрой- ства, так на таких частотах повышается излучение электромагнитных волн.

В зависимости от числа фаз электрические цепи переменного с тока под- разделяются на однофазные и трехфазные.

05.12.2014

Урок 25 (9класс)

Тема. Расчет простых электрических цепей

Решение любой задачи по расчету электрической цепи следует начинать с выбора метода, которым будут произведены вычисления. Как правило, одна и таже задача может быть решена несколькими методами. Результат в любом случае будет одинаковым, а сложность вычислений может существенно отличаться. Для корректного выбора метода расчета следует сначала определиться к какому классу относится данная электрическая цепь: к простым электрическим цепям или к сложным.

К простым относят электрические цепи, которые содержат либо один источник электрической энергии, либо несколько находящихся в одной ветви электрической цепи. Ниже изображены две схемы простых электрических цепей. Первая схема содержит один источник напряжения, в таком случае электрическая цепь однозначно относится к простым цепям. Вторая содержит уже два источника, но они находятся в одной ветви, следовательно это также простая электрическая цепь.

Расчет простых электрических цепей обычно производят в такой последовательности:

1. Сначала упрощают схему последовательно преобразовав все пассивные элементы схемы в один эквивалентный резистор. Для этого необходимо выделять участки схемы, на которых резисторы соединены последовательно или параллельно, и по известным формулам заменять их эквивалентными резисторами (сопротивлениями). Цепь постепенно упрощают и приводят к наличию в цепи одного эквивалентного резистора.

2. Далее подобную процедуру проводят с активными элементами электрической цепи (если их количество более одного источника). По аналогии с предыдущим пунктом упрощаем схему до тех пор, пока не получим в схеме один эквивалентный источник напряжения.

3. В итоге мы приводим любую простую электрическую схему к следующему виду:
Теперь есть возможность применить закон Ома - соотношение (1.22) и фактически определить значение тока протекающего через источник электрической энергии.

сочетанДомашнее задание

1. Ф.Я.Божинова, Н.М.Кирюхин, Е.А.Кирюхина. Физика, 9 класс, «Ранок», Харьков, 2009. § 13-14 (с.71-84) повторить.

2. Упражнение 13 (задача 2, 5), упражнение 14(задача 3, 5, 6) решить.

3. Переписать в рабочую тетрадь задачи 1, 3, 4 (см. следующие страницу).

ии с составлением баланса

Пи постоянного тока. Примеры решенных задач

Введение

Решение задач - неотъемлемая часть обучения физике, поскольку в процессе решения задач происходит формирование и обогащение физических понятий, развивается физическое мышление учащихся и совершенствуется их навыки применения знаний на практике.

В ходе решения задач могут быть поставлены и успешно реализованы следующие дидактические цели:

• Выдвижение проблемы и создание проблемной ситуации;
• Обобщение новых сведений;
• Формирование практических умений и навыков;
• Проверка глубины и прочности знаний;
• Закрепление, обобщение и повторение материала;
• Реализация принципа политехнизма;
• Развитие творческих способностей учащихся.

Наряду с этим при решении задач у школьников воспитываются трудолюбие, пытливость ума, смекалка, самостоятельность в суждениях, интерес к учению, воля и характер, упорство в достижении поставленной цели. Для реализации перечисленных целей особенно удобно использовать нетрадиционные задачи.

Задачи по расчету электрических цепей постоянного тока

По школьной программе на рассмотрение данной темы очень мало отводится времени, поэтому учащиеся более или менее успешно овладевают методами решения задач данного типа. Но часто такие типы задач встречаются олимпиадных заданиях, но базируются они на школьном курсе.

К таким, нестандартным задачам по расчету электрических цепей постоянного тока можно отнести задачи, схемы которых:

2) симметричны;

3) состоят из сложных смешанных соединений элементов.

В общем случае всякую цепь можно рассчитать, используя законы Кирхгофа. Однако эти законы не входят в школьную программу. К тому же, правильно решить систему из большого числа уравнений со многими неизвестными под силу не многим учащимся и этот путь не является лучшим способом тратить время. Поэтому нужно уметь пользоваться методами, позволяющими быстро найти сопротивления и емкости контуров.

Метод эквивалентных схем

Метод эквивалентных схем заключается в том, что исходную схему надо представить в виде последовательных участков, на каждом из которых соединение элементов схемы либо последовательно, либо параллельно. Для такого представления схему необходимо упростить. Под упрощением схемы будем понимать соединение или разъединение каких-либо узлов схемы, удаление или добавление резисторов, конденсаторов, добиваясь того, чтобы новая схема из последовательно и параллельно соединенных элементов была эквивалентна исходной.

Эквивалентная схема – это такая схема, что при подаче одинаковых напряжений на исходную и преобразованную схемы, ток в обеих цепях будет одинаков на соответствующих участках. В этом случае все расчеты производятся с преобразованной схемой.

Чтобы начертить эквивалентную схему для цепи со сложным смешанным соединением резисторов можно воспользоваться несколькими приемами. Мы ограничимся рассмотрением в подробностях лишь одного из них – способа эквипотенциальных узлов.

Этот способ заключается в том, что в симметричных схемах отыскиваются точки с равными потенциалами. Эти узлы соединяются между собой, причем, если между этими точками был включен какой-то участок схемы, то его отбрасывают, так как из-за равенства потенциалов на концах ток по нему не течет и этот участок никак не влияет на общее сопротивление схемы.

Таким образом, замена нескольких узлов равных потенциалов приводит к более простой эквивалентной схеме. Но иногда бывает целесообразнее обратная замена одного узла

несколькими узлами с равными потенциалами, что не нарушает электрических условий в остальной части.

Рассмотрим примеры решения задач эти методом.

З а д а ч а №1

Решение:

В силу симметричности ветвей цепи точки С И Д являются эквипотенциальными. Поэтому резистор между ними мы можем исключить. Эквипотенциальные точки С и Д соединяем в один узел. Получаем очень простую эквивалентную схему:

Сопротивление которой равно:

RАВ=Rac+Rcd=r*r/r*r+r*r/r+r=r.

З а д а ч а № 2

Решение :

В точках F и F` потенциалы равны, значит сопротивление между ними можно отбросить. Эквивалентная схема выглядит так:

Сопротивления участков DNB;F`C`D`; D`, N`, B`; FCD равны между собой и равны R1:

1/R1=1/2r+1/r=3/2r

С учетом этого получается новая эквивалентная схема:

Ее сопротивление и сопротивление исходной цепи RАВ равно:

1/RАВ=1/r+R1+R1+1/r+R1+R1=6/7r

З а д а ч а № 3 .

Решение:

Точки С и Д имеют равные потенциалы. Исключением сопротивление между ними. Получаем эквивалентную схему:

Искомое сопротивление RАВ равно:

1/RАВ=1/2r+1/2r+1/r=2/r

З а д а ч а № 4.

Решение:

Как видно из схемы узлы 1,2,3 имеют равные потенциалы. Соединим их в узел 1. Узлы 4,5,6 имеют тоже равные потенциалы- соединим их в узел 2. Получим такую эквивалентную схему:

Сопротивление на участке А-1, R 1-равно сопротивлению на участке 2-В,R3 и равно:

Сопротивление на участке 1-2 равно: R2=r/6.

Теперь получается эквивалентная схема:

Общее сопротивление RАВ равно:

RАВ= R1+ R2+ R3=(5/6)*r.

З а д а ч а № 5.

Решение:

Точки C и F-эквивалентные. Соединим их в один узел. Тогда эквивалентная схема будет иметь следующий вид:

Сопротивление на участке АС:

Сопротивление на участке FN:

Сопротивление на участке DB:

Получается эквивалентная схема:

Искомое общее сопротивление равно:

Задача №6

Решение:

Заменим общий узел О тремя узлами с равными потенциалами О, О 1 , О 2 . Получим эквивалентную систему:

Сопротивление на участке ABCD:

Сопротивление на участке A`B`C`D`:

Сопротивление на участке ACВ

Получаем эквивалентную схему:

Искомое общее сопротивление цепи R AB равно:

R AB = (8/10)*r.

Задача №7.

Решение :

“Разделим” узел О на два эквипотенциальных угла О 1 и О 2 . Теперь схему можно представить, как параллельные соединение двух одинаковых цепей. Поэтому достаточно подробно рассмотреть одну из них:

Сопротивление этой схемы R 1 равно:

Тогда сопротивление всей цепи будет равно:

З а д а ч а №8

Решение:

Узлы 1 и 2 – эквипотенциальные, поэтому соединим их в один узел I. Узлы 3 и 4 также эквипотенциальные – соединимих в другой узел II. Эквивалентная схема имеет вид:

Сопротивление на участке A- I равно сопротивлению на участке B- II и равно:

Сопротивление участка I-5-6- II равно:

Cопротивление участка I- II равно.

Эта статья для тех, кто только начинает изучать теорию электрических цепей. Как всегда не будем лезть в дебри формул, но попытаемся объяснить основные понятия и суть вещей, важные для понимания. Итак, добро пожаловать в мир электрических цепей!

Хотите больше полезной информации и свежих новостей каждый день? Присоединяйтесь к нам в телеграм .

Электрические цепи

– это совокупность устройств, по которым течет электрический ток.

Рассмотрим самую простую электрическую цепь. Из чего она состоит? В ней есть генератор – источник тока, приемник (например, лампочка или электродвигатель), а также система передачи (провода). Чтобы цепь стала именно цепью, а не набором проводов и батареек, ее элементы должны быть соединены между собой проводниками. Ток может течь только по замкнутой цепи. Дадим еще одно определение:

– это соединенные между собой источник тока, линии передачи и приемник.

Конечно, источник, приемник и провода – самый простой вариант для элементарной электрической цепи. В реальности в разные цепи входит еще множество элементов и вспомогательного оборудования: резисторы, конденсаторы, рубильники, амперметры, вольтметры, выключатели, контактные соединения, трансформаторы и прочее.

Классификация электрических цепей

По назначению электрические цепи бывают:

• Силовые электрические цепи;
• Электрические цепи управления;
• Электрические цепи измерения;

Силовые цепи предназначены для передачи и распределения электрической энергии. Именно силовые цепи ведут ток к потребителю.

Также цепи разделяют по силе тока в них. Например, если ток в цепи превышает 5 ампер, то цепь силовая. Когда вы щелкаете чайник, включенный в розетку, Вы замыкаете силовую электрическую цепь.

Электрические цепи управления не являются силовыми и предназначены для приведения в действие или изменения параметров работы электрических устройств и оборудования. Пример цепи управления – аппаратура контроля, управления и сигнализации.

Электрические цепи измерения предназначены для фиксации изменений параметров работы электрического оборудования.

Расчет электрических цепей

Рассчитать цепь – значит найти все токи в ней. Существуют разные методы расчета электрических цепей: законы Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов и другие. Рассмотрим применение метода контурных токов на примере конкретной цепи.

Сначала выделим контуры и обозначим ток в них. Направление тока можно выбирать произвольно. В нашем случае – по часовой стрелке. Затем для каждого контура составим уравнения по 2 закону Кирхгофа. Уравнения составляются так: Ток контура умножается на сопротивление контура, к полученному выражению добавляются произведения тока других контуров и общих сопротивлений этих контуров. Для нашей схемы:

Полученная система решается с подставкой исходных данных задачи. Токи в ветвях исходной цепи находим как алгебраическую сумму контурных токов

Какую бы цепь Вам ни понадобилось рассчитать, наши специалисты всегда помогут справится с заданиями. Мы найдем все токи по правилу Кирхгофа и решим любой пример на переходные процессы в электрических цепях. Получайте удовольствие от учебы вместе с нами!

Постановка задачи: в известной схеме цепи с заданными параметрами необходимо рассчитать токи, напряжения, мощности на отдельных участках. Для этого можно использовать следующие методы:

преобразования цепи;

непосредственного применения законов Кирхгофа;

контурных токов;

узловых потенциалов;

наложения;

эквивалентного генератора.

Будем рассматривать первых два метода.

Метод преобразования цепи. Суть метода: если несколько последовательно или (и) параллельно включенных сопротивлений заменить одним, то распределение токов в электрической цепи не изменится.

а) Последовательное соединение резисторов. Сопротивления включены таким образом, что начало следующего сопротивления подключается к концу предыдущего (рис. 6).

Ток во всех последовательно соединенных элементах одинаков.

Заменим все последовательно соединенные резисторы одним эквивалентным
(рис. 7.).

По IIзакону Кирхгофа:

т.е. при последовательном соединении резисторов эквивалентное сопротивление участка цепи равно сумме всех последовательно включенных сопротивлений.

б) Параллельное соединение резисторов. При этом соединении соединяются вместе одноименные зажимы резисторов (рис. 8).

Все элементы присоединяются к одной паре узлов. Поэтому ко всем элементам приложено одно и тоже напряжениеU .

По Iзакону Кирхгофа:
.

По закону Ома
. Тогда
.

Для эквивалентной схемы (см рис. 7):
;
.

Величина , обратная сопротивлению, называется проводимостьюG .

;
= Сименс (См).

Частный случай: параллельно соединены два резистора (рис. 9).

в) Взаимное преобразование звезды (рис.10а) и треугольник сопротивлений (рис. 10б).

Преобразование звезды сопротивлений в треугольник:

Преобразование "треугольника" сопротивлений в "звезду":

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа. Порядок расчета:

Примечание: если есть возможность, то перед составлением системы уравнений по законам Кирхгофа, следует преобразовать "треугольник" сопротивлений в соответствующую "звезду".

Пример расчет электрических цепей постоянного тока

Расчет будем выполнять с применением законов Кирхгофа, предварительно преобразовав треугольник сопротивлений в звезду.

Пример. Определить токи в цепи рис. 11, еслиE 1 = 160 В,E 2 =100 В,R 3 =100 Ом,R 4 =100 Ом,R 5 =150 Ом,R 6 =40 Ом.

Преобразуем треугольник сопротивлений R 4 R 5 R 6 в звезду сопротивленийR 45 R 56 R 64 , предварительно указав условные положительные направления токов в цепи (рис. 12).

После преобразования электрическая цепь примет вид рис. 13 (в непреобразованной части электрической цепи направления токов не изменятся).

Вполученной электрической цепи 2 узла, 3 ветви, 2 независимых контура, следовательно, в цепи протекает три тока (по количеству ветвей) и необходимо составить систему трех уравнений, из которых поIзакону Кирхгофа – одно уравнение (на 1 меньше, чем узлов в схеме электрической цепи) и два уравнения – поIIзакону Кирхгофа:

Подставим в полученную систему уравнений известные значения ЭДС и сопротивлений:

Решая систему уравнений любым способом, определяем токи схемы электрической цепи рис. 13:

А;
А;
А.

Переходим к исходной схеме (см. рис. 11). По IIзакону Кирхгофа:

;

А.

По Iзакону Кирхгофа:

;

;

Токииполучились отрицательными, следовательно, их действительное направление противоположно выбранному нами (рис. 14).

Правильность решения проверяем, составив уравнение баланса мощности. Мощность источников (учтем, что ЭДС источника E 2 направленно встречно токуI 2 , протекающему через него):

Мощность потребителей:

Погрешность вычислений в пределах допустимого (меньше 5%).

Смоделируем электрическую цепь рис. 11 средствами моделирующего пакета ElectronicsWorkbench(рис. 15):

Р
ис. 15

При сравнении расчетных результатов и результатов моделирования, можно увидеть, что они отличаются (различия не превышают 5%), т.к. измерительные приборы имеют внутренние сопротивления, которые моделирующая система учитывает

Основы > Задачи и ответы > Постоянный электрический ток

Методы расчета цепей постоянного тока

Цепь состоит из ветвей, имеет узлов и источников тока. Приводимые далее формулы пригодны для расчета цепей, содержащих и источники напряжения и источники тока. Они справедливы и для тех частных случаев: когда в цепи имеются только источники напряжения или только источники тока.

Применение законов Кирхгофа. Обычно в цепи известны все источники ЭДС и источники токов и все сопротивления. В этом случае устанавливается число неизвестных токов, равное . Для каждой ветви задаются положительным направлением тока.
Число У взаимонезависимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов без единицы. Число взаимонезависимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа,

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока. Общее число уравнений, составляемых по первому и по второму законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов.
Примеры приведены в задачах раздела .

Метод контурных токов (Максвелла). Этот метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа К, определяемого формулой (0.1.10). Он основан на том, что ток в любой ветви цепи можно представить в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающих по этой ветви. При пользовании этим методом выбирают и обозначают контурные токи (по любой ветви должен проходить хотя бы один выбранный контурный ток). Из теории известно, что общее число контурных токов . Рекомендуется выбирать контурных токов так, чтобы каждый из них проходил через один источник тока (эти контурные токи можно считать совпадающими с соответствующими токами источников тока и они обычно являются заданными условиями задачи), а оставшиеся контурных токов выбирать проходящими по ветвям, не содержащим источников тока. Для определения последних контурных токов по второму закону Кирхгофа для этих контуров составляют К уравнений в таком виде:

где - собственное сопротивление контура n (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур n ); - общее сопротивление контуров n и l , причем , если направления контурных токов в общей ветви для контуров n и l совпадают, то положительно , в противном случае отрицательно ; - алгебраическая сумма ЭДС, включенных в ветви, образующие контур n; - общее сопротивление ветви контура n с контуром, содержащим источник тока .
Примеры приведены в задачах раздела .

Метод узловых напряжений. Этот метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа У, равного количеству узлов без одного

Сущность метода заключается в том, что вначале решением системы уравнений (0.1.13) определяют потенциалы всех узлов схемы, а токи ветвей, соединяющих узлы, находят с помощью закона Ома.
При составлении уравнений по методу узловых напряжений вначале полагают равным нулю потенциал какого-либо узла (его называют базисным). Для определения потенциалов оставшихся узлов составляется следующая система уравнений:

Здесь - сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу s; - сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел s с узлом q ; - алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, примыкающих к узлу s , на их проводимости; при этом со знаком « + » берутся те ЭДС, которые действуют в направлении узла s, и со знаком «-» - в направлении от узла s; - алгебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к узлу s; при этом со знаком « + » берутся те токи, которые направлены к узлу s , а со знаком « -» - в направлении от узла s.
Методом узловых напряжений рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда число уравнений меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов.
Если в схеме некоторые узлы соединяются идеальными источниками ЭДС, то число У уравнений, составляемых по методу узловых напряжений, уменьшается:

где - число ветвей, содержащих только идеальные источники ЭДС.
Примеры приведены в задачах раздела .
Частный случай-двухузловая схема. Для схем, имеющих два узла (для определенности узлы а и b ), узловое напряжение

где - алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей (ЭДС считаются положительными, если они направлены к узлу а, и отрицательными, если от узла а к узлу b ) на проводимости этих ветвей; - токи источников тока (положительны, если они направлены к узлу а, и отрицательны, если направлены от узла а к узлу b ) ; - сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы а и b .

Принцип наложения. Если в электрической цепи заданными значениями являются ЭДС источников и токи источников тока, то расчет токов на основании принципа наложения состоит в следующем. Ток в любой ветви можно рассчитать как алгебраическую сумму токов, вызываемых в ней ЭДС каждого источника ЭДС отдельно и током, проходящим по этой же ветви от действия каждого источника тока. При этом надо иметь в виду, что когда ведется расчет токов, вызванных каким-либо одним источником ЭДС или тока, то остальные источники ЭДС в схеме заменяются короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока остальных источников отключаются (ветви с источниками тока размыкаются).

Эквивалентные преобразования схем. Во всех случаях преобразования замена одних схем другими, им эквивалентными, не должна привести к изменению токов или напряжений на участках цепи, не подвергшихся преобразованию.
Замена последовательно соединенных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления соединены последовательно, если они обтекаются одним и тем же током (например, сопротивления соединены последовательно (см. рис. 0.1,3), также последовательны сопротивления ).
n последовательно соединенных сопротивлений, равно сумме этих сопротивлений

При последовательном соединении n сопротивлений напряжения на них распределяются прямо пропорционально этим сопротивлениям

В частном случае двух последовательно соединенных сопротивлений

где U - общее напряжение, действующее на участке цепи, содержащем два сопротивления (см. рис. 0.1.3).
Замена параллельно соединенных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления соединены параллельно, если вес они присоединены к одной парс узлов, например, сопротивления (см. рис. 0.1.3).
Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n параллельно соединенных сопротивлений (рис. 0.1.4),

В частном случае параллельного соединения двух сопротивлений эквивалентное сопротивление

При параллельном соединении n сопротивлений (рис. 0.1.4, а) токи в них распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям или прямо пропорционально их проводимостям

Ток в каждой из них вычисляется через ток I в неразветвленной части цепи

В частном случае двух параллельных ветвей (рис. 0.1.4, б)

Замена смешанного соединения сопротивлений одним эквивалентным. Смешанное соединение это сочетание последовательного и параллельного соединений сопротивлений. Например, сопротивления (рис. 0.1.4, б) соединены смешанно. Их эквивалентное сопротивление

Формулы преобразования треугольника сопротивлений (рис. 0.1.5, а) в эквивалентную звезду сопротивлений (рис. 0.1.5, б), и наоборот, имеют такой вид:

Метод эквивалентного источника (метол активного двухполюсника, или метод холостого хода и короткого замыкания). Применение метода целесообразно для определения тока в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи. Рассмотрим два варианта: а) метод эквивалентного источника ЭДС и б) метод эквивалентного источника тока.
При методе эквивалентного источника ЭДС для нахождения тока I в произвольной ветви ab, сопротивление которой R (рис. 0.1.6, а , буква А означает активный двухполюсник), надо эту ветвь разомкнуть (рис. 0.1.6, б), а часть цепи, подключенную к этой ветви, заменить эквивалентным источником с ЭДС и внутренним сопротивлением (рис. 0.1.6, в).
ЭДС этого источника равняется напряжению на зажимах разомкнутой ветви (напряжение холостого хода):

Расчет схем в режиме холостого хода (см. рис. 0.1.6, б) для определения проводится любым известным методом.
Внутреннее сопротивление эквивалентного источника ЭДС равняется входному сопротивлению пассивной цепи относительно зажимов а и b исходной схемы, из которой исключены все источники [источники ЭДС заменены короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока отключены (рис. 0.1.6, г); буква П указывает на пассивный характер цепи], при разомкнутой ветви ab. Сопротивление можно вычислить непосредственно по схеме рис. 0.1.6, г.
Ток в искомой ветви схемы (рис. 0.1.6, д), имеющей сопротивление R, определяют по закону Ома: